“我和你荡秋千
荡到那天外天
看着那牛郎织女
相会在那银河滨“
01 荡秋千
提到荡秋千，必定能勾起咱们的儿时回想，但这项看似再简略不过的幼年活动，其实是充满了技能含量的！荡秋千简略，可是怎样才干像歌词中唱的那样“荡到天外天”呢？
许多人榜首反响可能是：找个人在后边推自己呀！正所谓芳园四壁花光闻，秋千动处朝霞飞。在春和景明，万物复苏的时节，和自己的男/女朋友一同荡秋千，想必是欢声笑语，浪漫之至。而这正是物理学中共振的原理呀！在秋千的每一个摇摆周期咱们都施加一次外力驱动，因而外界的驱动频率与体系本征频率挨近，产生了爱的共振，所以咱们才干将秋千越荡越高。
这种方法尽管浪漫，但却有着很大的约束，那便是：没目标的话怎样办呢？
莫非咱们独身狗就不配荡秋千了吗（摔）
其实即便自己一个人，咱们也是能把秋千荡起来的，方法便是今日咱们要介绍的“参变振动”。详细操作如下所示：
如左图所示，当秋千到最高点时忽然蹲下，然后到最低点时再忽然站起来，那么人体重心的改动就如右图中A→B→C→D相同。在最低点咱们要战胜重力做功，将人体内能转化为机械能，因为B点与C点之间的高度差，所以D点高度是必定大于A点的。从D点开端再次敏捷蹲下开端下一个“蹲→起→蹲”的周期，循环往复下去，咱们独身狗就也能够“荡到那天外天”啦！
当然了，现实日子中许多秋千为了安全或舒适起见，规划为了只能坐着荡，这个时分咱们也是有方法的，如下图所示：
不好意思，放错图了，应该是下面这张↓↓↓
也便是说，咱们需求将上面的“站起-蹲下”相应的替换为“屈腿-伸腿”，以此来完成重心的改动。
这样的一种荡秋千方法为什么被称为“参变共振”呢？是因为咱们体系中并没有外界驱动，咱们仅仅经过周期性的改动重心，或许说是单摆的摆长，就完成了越荡越高的效果，也便是说起振是经过摆长这个参数的改动来完成的。这儿咱们需求留意一点，那便是不管是“蹲→起→蹲”，仍是“屈→伸→屈”，在每一个秋千摇摆的周期咱们都需求进行两次这样的操作，也便是说咱们重心改动的频率是单摆本身频率的两倍，这样才干完成参变振动。
以上仅是对独身狗荡秋千法的定性剖析，作为物理学从业者，咱们能不能定量的剖析一下这个过称呢？朗道笑了笑表明那天然是没问题的！
在朗道的理论物理教程榜首卷《力学》卷中，有一节是关于参变振动的，让咱们一同来回想一下：
关于一个一维的谐振子，其运动方程可一般性的表明为：
在这儿的频率是含时的，无妨考虑其具有如下的方法：
其间：
也便是说该方程描绘的体系的频率是周期性改动的，且频率平方的周期性改动速度大约是其本身的两倍。
众所周知，单摆在小视点振动时，其周期与摆长的平方根成正比：
也便是说，摆长与频率的平方成反比。既然在咱们的独身狗荡秋千法里，摆长的改动周期是体系本征频率的两倍，那么频率的平方天然也要以本征频率的两倍来改动啦。因而咱们是能够用这个方程去描绘独身狗荡秋千法的。
回到咱们的方程，能够假定解的方法为：
这种假定当然不是严厉准确的，实际上x还会包括更高阶的倍频项，不过他们都是h的高阶小量，所以咱们能够暂时疏忽。
这儿咱们假定相关于sin以及cos项以外，a(t)与b(t)随时刻改动很慢：
将咱们假定的解的方法代入到运动方程中，仅保存ε的一阶项，一同经过展波近似疏忽掉以3（ω+ε/2）改动的快变项，能够得到：
留意在推导进程中咱们用到了如下面这样的三角函数联系式：
上述等式若要时刻建立，sin项与cos项前面的系数必定为零，一同因为咱们希望得到起振的解，因而可假定振幅是指数改动的：
终究可联立方程组如下：
方程组有解的条件为其行列式等于零，因而：
若要起振，s需为实数，因而：
回忆一开端咱们考虑频率的改动为：
因而，只有当频率平方的改动频率大约是本征频率的两倍时，才会产生参变振动，而这与咱们之前对独身狗荡秋千的定性剖析不约而同！
故事讲到这儿，可能有不少小伙伴要问了，这和标题里的量子核算有啥联系，莫非我又被中二所骗了？(ˇˇ) 不不不，接下来才是重头戏！
02 量子核算机
量子核算的概念近几年十分炽热，想必咱们都有听说过。在某些特定问题的求解上，比较于经典核算机，量子核算机能够完成指数加快。比方关于咱们现在最常见的RSA加密算法来说，假如选用2048位的话，哪怕是超算也需求将近10亿年的时刻才干破解，但关于量子核算机来说或许只需求几分钟的时刻。
那么怎样才干造出一台算力如此强壮的量子核算机呢？现在开展最快的超导量子核算背面的原理其实是“电路量子电动力学（Circuit-QED）”，与光与原子相互效果的“腔量子电动力学（Cavity-QED）”相似，这儿仅仅将实在的原子替换为了以约瑟夫森结电路为中心器材的“人工原子”，把光学谐振腔替换为了LC谐振电路。这样的体系有很大的优势，比方量子比特和丈量体系的谐振腔更简略耦合，能够经过微加工的方法来完成比特的扩展等。
可是在超导量子核算的谐振腔里存在的是微波光子，典型的频率在10GHz量级。日常日子中最常见的可见光波长规模在400到760纳米之间，也就意味着其频率规模处于395~750THz的等级，从能量上来讲差不多是微波光子的十万倍。正在看文章的你，每秒要承受来自手机屏幕的百亿亿量级的可见光光子才能够获取信息。而一个典型的超导谐振腔内的微波光子数只在10这个量级。可想而知，在超导量子核算机中想要获取量子比特的信息是多么困难。
正因如此，为了测到量子比特的状况，咱们需求对极端弱小的信号进行扩大，总的增益需求到达100dB（也便是100亿倍！），单靠一个扩大器是很难完成这一点的，往往需求级联多级扩大器。但这又涉及到噪声的问题，每一级扩大器引进的噪声都会跟着信号被后边的扩大器一同扩大，假如不操控好扩大器本身引进的噪声，终究的信噪比将不忍目睹，这就使得最前端的扩大器特别重要。讲到这儿本文的c位总算能够出道了，那便是“约瑟夫森参量扩大器”。
03 约瑟夫森参量扩大器
在讲约瑟夫森参量扩大器之前，咱们有必要先介绍一下约瑟夫森结，它的结构很简略，便是两个超导体中心以绝缘层离隔（如下图所示），就像三明治相同。
可是，如此简略的结构却蕴藏着极端丰富的物理现象与巨大的实用价值，它不只给22岁的博士生布赖恩·约瑟夫森带来了1973年的诺贝尔物理学奖（注：约瑟夫森于1962年提出约瑟夫森结的理论，11年后获奖），还成为了现如今谷歌，IBM等公司正如火如荼研讨的量子核算机的中心器材。那么它是怎样做到的呢？
咱们知道超导体之所以能够完成零电阻，是因为超导体中的电子能够两两抱团组成库珀对儿，抱团后的电子就能够无视各种散射，一路四通八达了。可是一旦离开了超导体，遇到绝缘层的话该怎样办呢？在量子力学中，面临一堵墙（势垒），不管它多么高、多么巩固，电子都有必定的几率能够穿墙而过。那么面临绝缘层这堵墙，库珀对当然也是有几率隧穿过去的。可是这堵墙究竟声称绝缘层，库珀对武功再强，总是要给人家一些体面的对不对。所以两相权衡下，库珀对能够经过，但有必要受到约束。这种约束的详细方法则能够阐明约瑟夫森结具有非线性的特性。
而约瑟夫森结的奇特之处便在于非线性，使用它的非线性特性人们能够结构能级距离改动的非谐振电路，就像“人工原子”相同，咱们能够分辨出它的基态与激发态，因而它能够作为一个超导量子比特，占到量子核算机里的c位。也正是因为它的非线性特性，以约瑟夫森结为中心的微波电路的振动频率能够周期性的改动。所以相似于荡秋千时摆长的周期性改动能使咱们越荡越高相同，频率的周期性改动使得约瑟夫森结能够将电信号不断扩大，完成参量扩大的效果。下面咱们将定量地介绍一下约瑟夫森结的非线性特性以及怎样经过这种非线性来完成参变振动。
前方高能预警：一大波公式行将来袭，非战斗人员请直接撤离至文末看要点！
约瑟夫森结的电流与电压满意下面两个约瑟夫森方程：
其间δ是两边超导体的相位差，Φ0是常数，I0是约瑟夫森结答应经过的最大电流，即临界电流。结合上面两个式子能够得到：
结合电感的界说咱们能够得到约瑟夫森结的电感为：
跟着电流的改动，相位差δ会改动，因而约瑟夫森结的电感并不是定值，而是改动的，咱们将其称为非线性电感，这便是约瑟夫森结的非线性特性。
那么怎样使用非线性特性完成参变振动呢？且看下面的解说：
咱们考虑一个传输线与约瑟夫森结衔接的模型，如上图所示。其间约瑟夫森结被等效成了右侧一个非线性电感与电容的并联，依据前面的约瑟夫森方程，它的电流巨细分别为：
而在左边的传输线上，咱们需求给一个泵浦信号以及一个要扩大的小信号，依据电报方程得到的边界条件，在z=0处的电流能够表明为：
在z=0的当地，两边电流巨细应持平，收拾方程可得：
其间sin项已被泰勒打开至三阶项，成为方程中的非线性部分。为了求解这个方程，咱们能够先疏忽右侧的小输入信号，只考虑泵浦信号的影响，则方程变为：
假定剩下部分化的方法为：
这种假定明显不是准确的，但咱们能够将其作为0阶近似，经过迭代的方法一步步趋近实在的解，思路相似于解非线性的Duffing方程。不过在这儿咱们只想要阐明参量扩大的物理进程，因而先将就着用这个0阶的解。
关于等式右边需求扩大的小信号，咱们能够将它的影响当作一个小的微扰，即：
将它代入到等式中去，只保存δS的一阶项，咱们能够得到：
其间频率的表达式如下：
比照前面荡秋千那部分朗道书中的公式：
能够发现两个方程方法上是共同的，频率的平方都有着周期性的改动，因而咱们的约瑟夫森结也能够像荡秋千相同参变振动然后完成信号扩大的效果。在描绘约瑟夫森结的方程中多了一个弱小的输入信号和对时刻一阶导的阻尼项，前者咱们能够疏忽不计，而后者也只会影响到约瑟夫森参量扩大器的增益带宽。参变振动的物理实质并不会有所改动。
在之前荡秋千时咱们曾讲过参变振动的频率平方的改动频率需求是体系本征频率的二倍。在这种约瑟夫森参量扩大器中，咱们能够看到频率平方的改动频率为泵浦频率的两倍，也便是说若想完成参量扩大，需求满意泵浦信号与体系的本征频率挨近，即：
04 划要点
坚持看到这儿的同学真的很棒！
当咱们孤身一人荡秋千时，能够经过周期性地改动本身重心使得单摆摆长周期性振动，然后完成参变振动，越荡越高。在量子核算机里这个进程是相似的，只不过这儿咱们是经过约瑟夫森结的非线性特性来让频率这个参量周期性改动，然后完成参变振动，扩大咱们需求的信号。并且两者共通的一点是，参量的改动频率需求在体系本征频率的两倍邻近才能够完成起振的效果。
跟着科技的开展，人们研讨的内容也越来越深化，在未来必定会呈现更多相似于量子核算这样需求对极弱小信号进行低噪声扩大的需求（现在做暗物质研讨的科学家们现已开端重视约瑟夫森结参量扩大器了）。不知看完这篇文章后，你是否现已有了对参量扩大器的根本形象呢？
（篇幅所限，本文仅仅介绍了约瑟夫森参量扩大器的冰山一角。关于参量扩大器的参量进程，信号增益，带宽，噪声按捺，动态规模以及现如今人们为了进步这些功能进行的许多改善，欢迎咱们阅览下方的参考文献进一步了解哦~）
参考文献：
1． Landau, L. D. and Lifshitz, E. M. Mechanics, chapter 5, 58–95. Butterworth Heinemann (2000).
2． 无邪. 扩大，参量扩大，约瑟夫森参量扩大.
3． 无邪. 量子核算背面的硬核技能：约瑟夫森参量扩大器.
4． Beltran M A C. Development of a Josephson parametric amplifier for the preparation and detection of nonclassical states of microwave fields[D]. University of Colorado at Boulder, 2010.
修改：米老猫